Giải bài tập 9 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a,(y = {x^3} - 3{x^2} + 2) (b,;y = - {x^3} + 3{x^2} - 6x) (c,y = frac{{3x - 2}}{{x - 2}}) (d,y = frac{x}{{2x + 3}}) (e,y = frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}) (g,y = frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}};)
Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a,\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
\(b,\;y = - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)
\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)
\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)
\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)
\(g,y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\;\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm tập xác định
Vẽ bảng biến thiên
Vẽ đồ thị
Lời giải chi tiết
\(a,\;y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
TXD : R
\(y' = 3{x^2} - 6x\)
Cho y= 0 => \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;2)
\(\;b,\;y = - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)
TXD: R
\(y' = \; - 3{x^2} + 6x - 6\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
Hàm số nghịch biến trên R
\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)
TXD: R/2
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = 3 = > TCN\;y = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = - \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Hàm số nghịch biến trên khoảng R
\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)
TXD: R \ {\( - \frac{3}{2}\)}
TCN \(y = \frac{1}{2}\)
TCD \(x = - \frac{3}{2}\)
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số:
\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)
\(TXD:\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
TCD: x = 0.
Không có tiệm cận ngang.
Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{4}{x}\), suy ra:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{x} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{x} = 0.\end{array}\)
Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.
\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)x - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).
Cho y’=0 => x=\( \pm 2\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
g, \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\)
TXD: \(\mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \). \[\]
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \). Đồ thị àm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty \). Đồ thị hàm số có \(x = - 2\) là tiệm cận đứng.
Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 2}}\), suy ra:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\end{array}\)
Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
