Giải mục 2 trang 70, 71, 72 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Tổng Quan Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập môn Toán học lớp 12
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, truyenngontinh.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Khoảng tứ phân vị
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?
Phương pháp giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Khoảng tứ phân vị càng bé thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị
Lời giải chi tiết:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 34 – 19 = 15(tuổi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 31 – 19 = 12(tuổi)
Cỡ mẫu \(n = 100\)
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{10}} \in [19;22)\); \({x_{11}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{37}} \in [22;25)\);\({x_{38}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{68}} \in [25;28)\);\({x_{69}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{93}} \in [28;31)\);\({x_{94}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}} \in [31;34)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [28;31)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{47}} \in [19;22)\); \({y_{48}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{87}} \in [22;25)\);\({y_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{98}} \in [25;30)\);\({y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{25}} + {y_{26}}) \in [19;22)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{75}} + {y_{76}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{1647}}{{470}}\)
b) Có \({\Delta _Q}' < {\Delta _Q}\) nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?
Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
b) Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.
Phương pháp giải:
a) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của 2 nhóm số liệu rồi so sánh
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên R = 33 – 15 = 18 (phút).
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{22}} \in [15;18)\); \({x_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{60}} \in [18;21)\); \({x_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{87}} \in [21;24)\); \({x_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{95}} \in [24;27)\);\({x_{96}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{99}} \in [27;30)\);\({x_{100}} \in [30;33)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}\).
Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\).
Hay \(x > \frac{{68}}{3} + 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 29,31\) hoặc \(x < \frac{{693}}{{38}} - 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 11,59\).
Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 30 – 15 = 15 (phút).
Gọi \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đã loại bỏ giá trị ngoại lệ.
Ta có: \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{22}} \in [15;18)\); \({z_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{60}} \in [18;21); {z_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{87}} \in [21;24); {z_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{95}} \in [24;27); {z_{95}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}} \in [27;30) \).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}'' = 18 + \frac{{\frac{{99}}{4}}-22}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2769}}{{152}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}'' = 21 + \frac{{\frac{{3.99}}{4} - (22+38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{271}}{{12}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}'' = {Q_3}'' - {Q_1}'' = \frac{{1991}}{{456}}\).
Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.
b) Cỡ mẫu \(n = 25\).
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2} \in [155;160)\); \({x_3}; \ldots ;{\rm{ }}{x_9} \in [160;165)\);\({x_{10}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{21}} \in [165;170)\);\({x_{22}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [170;175)\);\({x_{25}} \in [180;185)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_6} + {x_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{112}}\).
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [155;160)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{14}} \in [160;165)\);\({y_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{22}} \in [165;170)\);\({y_{23}};{\rm{ }}{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175)\);\({y_{25}} \in [175;180)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_6} + {y_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{2095}}{{288}}\).
Có \({\Delta _Q}' > {\Delta _Q}\) nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lơn hơn lớp 12C.
KP2
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:
a) Hãy tìm các tứ phân vị \({Q_1}\) và \({Q_3}\).
b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?
Phương pháp giải:
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Cỡ mẫu n = 150
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [200;250)\); \({x_{25}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{86}} \in [250;300)\); \({x_{87}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{120}} \in [300;350)\); \({x_{121}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{141}} \in [350;400)\); \({x_{142}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}} \in [400;450)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [250;300)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{113}} \in [300;350)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}\)
b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng \([{Q_1};{Q_3}) = [260,89;338,97)\)(triệu đồng)
TH2
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 71 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An trong Khởi động.
Phương pháp giải:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Lời giải chi tiết:
Cỡ mẫu \(n = 30\);
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}} \in [20;25)\); \({x_{26}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}} \in [25;30)\);
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [15;20)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{17}} \in [20;25)\);\({y_{18}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}} \in [25;30)\);\({y_{26}};{y_{27}};{\rm{ }}{y_{28}} \in [30;35)\);\({y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}-5}{{12}}(25 - 20) = \frac{{505}}{24}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{23}} \in [25;30)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{355}}{{48}}\)
Vì \(\frac{{355}}{{48}}>3\) nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An
- KP2
- TH2
- TH3
- VD
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:
a) Hãy tìm các tứ phân vị \({Q_1}\) và \({Q_3}\).
b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?
Phương pháp giải:
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Cỡ mẫu n = 150
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [200;250)\); \({x_{25}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{86}} \in [250;300)\); \({x_{87}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{120}} \in [300;350)\); \({x_{121}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{141}} \in [350;400)\); \({x_{142}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}} \in [400;450)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [250;300)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{113}} \in [300;350)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}\)
b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng \([{Q_1};{Q_3}) = [260,89;338,97)\)(triệu đồng)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 71 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An trong Khởi động.
Phương pháp giải:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Lời giải chi tiết:
Cỡ mẫu \(n = 30\);
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}} \in [20;25)\); \({x_{26}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}} \in [25;30)\);
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [15;20)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{17}} \in [20;25)\);\({y_{18}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}} \in [25;30)\);\({y_{26}};{y_{27}};{\rm{ }}{y_{28}} \in [30;35)\);\({y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}-5}{{12}}(25 - 20) = \frac{{505}}{24}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{23}} \in [25;30)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{355}}{{48}}\)
Vì \(\frac{{355}}{{48}}>3\) nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?
Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
b) Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.
Phương pháp giải:
a) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của 2 nhóm số liệu rồi so sánh
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên R = 33 – 15 = 18 (phút).
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{22}} \in [15;18)\); \({x_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{60}} \in [18;21)\); \({x_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{87}} \in [21;24)\); \({x_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{95}} \in [24;27)\);\({x_{96}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{99}} \in [27;30)\);\({x_{100}} \in [30;33)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}\).
Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\).
Hay \(x > \frac{{68}}{3} + 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 29,31\) hoặc \(x < \frac{{693}}{{38}} - 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 11,59\).
Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 30 – 15 = 15 (phút).
Gọi \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đã loại bỏ giá trị ngoại lệ.
Ta có: \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{22}} \in [15;18)\); \({z_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{60}} \in [18;21); {z_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{87}} \in [21;24); {z_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{95}} \in [24;27); {z_{95}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}} \in [27;30) \).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}'' = 18 + \frac{{\frac{{99}}{4}}-22}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2769}}{{152}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}'' = 21 + \frac{{\frac{{3.99}}{4} - (22+38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{271}}{{12}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}'' = {Q_3}'' - {Q_1}'' = \frac{{1991}}{{456}}\).
Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.
b) Cỡ mẫu \(n = 25\).
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2} \in [155;160)\); \({x_3}; \ldots ;{\rm{ }}{x_9} \in [160;165)\);\({x_{10}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{21}} \in [165;170)\);\({x_{22}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [170;175)\);\({x_{25}} \in [180;185)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_6} + {x_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{112}}\).
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [155;160)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{14}} \in [160;165)\);\({y_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{22}} \in [165;170)\);\({y_{23}};{\rm{ }}{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175)\);\({y_{25}} \in [175;180)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_6} + {y_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{2095}}{{288}}\).
Có \({\Delta _Q}' > {\Delta _Q}\) nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lơn hơn lớp 12C.
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?
Phương pháp giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Khoảng tứ phân vị càng bé thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị
Lời giải chi tiết:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 34 – 19 = 15(tuổi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 31 – 19 = 12(tuổi)
Cỡ mẫu \(n = 100\)
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{10}} \in [19;22)\); \({x_{11}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{37}} \in [22;25)\);\({x_{38}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{68}} \in [25;28)\);\({x_{69}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{93}} \in [28;31)\);\({x_{94}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}} \in [31;34)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [28;31)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{47}} \in [19;22)\); \({y_{48}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{87}} \in [22;25)\);\({y_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{98}} \in [25;30)\);\({y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{25}} + {y_{26}}) \in [19;22)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{75}} + {y_{76}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{1647}}{{470}}\)
b) Có \({\Delta _Q}' < {\Delta _Q}\) nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn
Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên truyenngontinh.com.vn
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Chính vì vậy, truyenngontinh.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của truyenngontinh.com.vn luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Khác với các phương pháp truyền thống, truyenngontinh.com.vn ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Hướng Dẫn Sử Dụng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Hiệu Quả
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Nền tảng truyenngontinh.com.vn được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Khác với các phương pháp truyền thống, truyenngontinh.com.vn ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Sự kết hợp hài hòa giữa giao diện trực quan và nội dung phong phú là điểm cộng lớn cho quá trình đạt kết quả cao trong học tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Chính vì vậy, truyenngontinh.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Câu Hỏi Thường Gặp Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Rất nhiều người dùng đ.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Bằng cách th.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Chỉ v.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, truyenngontinh.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập thường xuyên trên truyenngontinh.com.vn, bạn sẽ nắm bắt được những xu hướng mới nhất. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.