Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tổng quan nội dung
Tổng Quan Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập môn Toán học lớp 12
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, truyenngontinh.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 3;0;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của \(\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)\).
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?
b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc = \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\)
\( = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).
Suy ra, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì (I) luôn đúng. Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
+ Với \(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\), từ (I) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.\), do đó, \(a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)\). Tính \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nếu hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương.
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( { - 2;1;0} \right),C\left( { - 2;3;2} \right)\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; - 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\;\; - 3\\\;\;1\;\; - 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 3\;\;3\\ - 3\;\;5\end{array} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)\)
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow n \), giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương gì? (H.5.1)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm phương của \(\overrightarrow n \): Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\).
a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\), Tính \(\overrightarrow M \).
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow M = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {OP'} = \left( {2x;2y;2z} \right)\). Khi đó, moment lực là: \(\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]\)
Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {M'} = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right) = 2\overrightarrow M \)
Vậy khi giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.
Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.
- HĐ1
- LT1
- HĐ2
- LT2
- HĐ3
- LT3
- VD1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow n \), giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương gì? (H.5.1)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm phương của \(\overrightarrow n \): Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 3;0;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của \(\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?
b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc = \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\)
\( = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).
Suy ra, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì (I) luôn đúng. Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
+ Với \(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\), từ (I) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.\), do đó, \(a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)\). Tính \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nếu hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương.
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( { - 2;1;0} \right),C\left( { - 2;3;2} \right)\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; - 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\;\; - 3\\\;\;1\;\; - 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 3\;\;3\\ - 3\;\;5\end{array} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\).
a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\), Tính \(\overrightarrow M \).
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow M = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {OP'} = \left( {2x;2y;2z} \right)\). Khi đó, moment lực là: \(\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]\)
Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {M'} = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right) = 2\overrightarrow M \)
Vậy khi giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.
Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.
Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên truyenngontinh.com.vn
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Chính vì vậy, truyenngontinh.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của truyenngontinh.com.vn luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Khác với các phương pháp truyền thống, truyenngontinh.com.vn ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Hướng Dẫn Sử Dụng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Hiệu Quả
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Nền tảng truyenngontinh.com.vn được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Khác với các phương pháp truyền thống, truyenngontinh.com.vn ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Sự kết hợp hài hòa giữa giao diện trực quan và nội dung phong phú là điểm cộng lớn cho quá trình đạt kết quả cao trong học tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Chính vì vậy, truyenngontinh.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Câu Hỏi Thường Gặp Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Rất nhiều người dùng đ.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Bằng cách th.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại truyenngontinh.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Chỉ v.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, truyenngontinh.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập thường xuyên trên truyenngontinh.com.vn, bạn sẽ nắm bắt được những xu hướng mới nhất. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.