Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Một khu vực hình tròn có bán kính 20 m được bao quanh bởi một lối đi bộ (như hình vẽ). Một bóng đèn được lắp ở trên đỉnh cột nằm ở trung tâm của khu vực. Hỏi độ cao của cột đèn là bao nhiêu thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ? Biết rằng cường độ chiếu sáng cho bởi công thức \(I = \frac{{\sin \theta }}{s}\), trong đó s là khoảng cách từ nguồn sáng và \(\theta \) là góc mà ánh sáng chiếu vào bề mặt.
Đề bài
Một khu vực hình tròn có bán kính 20 m được bao quanh bởi một lối đi bộ (như hình vẽ). Một bóng đèn được lắp ở trên đỉnh cột nằm ở trung tâm của khu vực. Hỏi độ cao của cột đèn là bao nhiêu thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ? Biết rằng cường độ chiếu sáng cho bởi công thức \(I = \frac{{\sin \theta }}{s}\), trong đó s là khoảng cách từ nguồn sáng và \(\theta \) là góc mà ánh sáng chiếu vào bề mặt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.
Lời giải chi tiết
Gọi h là chiều cao của đèn (h>0,mét)
Ta có: \(I = \frac{{\sin \theta }}{s} = \frac{h}{{{s^2}}} = \frac{h}{{{h^2} + 400}}\)
Xét hàm số \(I(h) = \frac{h}{{{h^2} + 400}},h > 0\)
Ta có: \(I'(h) = \frac{{400 - {h^2}}}{{{{\left( {{h^2} + 400} \right)}^2}}}\)
\(I'(h) = 0 \Leftrightarrow h = 20\) (do \(h > 0\)).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy khi chiều cao của cột đèn là 20m thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ.